كه آن را میانگین نیز می گویند متداول ترین اندازه مركزی می باشد كه از رابطه به دست می‌آید.

(تعداد اندازه ها)/ (مجموع اندازه ها) = میانگین

میانگین محاسبه شده برای داده های نمونه را با علامت و میانگین جمعیت را با علامت نشان می‌دهند. به عبارت دیگر اگر اندازه نمونه انتخاب شده برابر با n و اندازه جمعیت برابر با N (جمعیت محدود) و اندازه صفت عضـوام جمعیت با نشان داده شود، آنگاه

یكی از اندازه های مهم مركزی می باشد كه به صورت زیر تعریف می شود. میانه مجموعه ای از داده ها، كه آن را بانشان می دهند، اندازه ای است كه حداقل نیمی از داده ها از آن عدد كمتر باشند.

محاسبه میانه برای داده های گسسته:
برای محاسبه میانه با استفاده از داده های خام به ترتیب زیر عمل می كنیم.
1- داده ها را به ترتیب صعودی یا نزولی مرتب می كنیم
2- به داده های مرتب شده رتبه اختصاص می دهیم به طوریكه به اولین عدد رتبه 1 ، و به آخرین عدد رتبه n یا تعلق می گیرد.جایگشتی مرتب شده از مقادیر داده های اصلی هستند.
3- چنانچه n فرد باشد میانه عددی است كه رتبه را دارد و چنانچه n زوج باشد میانه میانگین دو عددی است كه رتبه های و را اخیتار كرده اند، یعنی


مثال1: میانه داده های زیر را بدست آورید:
77، 79، 80، 86، 87، 87، 94، 99
حل:تعداد داده ها برابر با 8 است. با توجه به اینکه داده ها مرتب شده هستند،بنابراین میانه داده ها عبارت است از:



مثال2: میانه داده های زیر را بدست آورید:
80، 75، 90، 95، 65، 65، 85، 70، 100

حل: ابتدا داده ها را از کوچک به بزرگ مرتب می نماییم.
65، 65، 70، 75، 80، 85، 90، 95، 100
تعداد داده ها برابر با 9 است. ،بنابراین میانه داده ها عبارت است از:



محاسبه میانه برای داده های پیوسته:
مقدار میانه را نیز می توان با استفاده از جدول فراوانی محاسبه نمود
برای بدست آوردن میانه با استفاده از جدول فراوانی قرمهای زیر را بر می‌داریم
1- مقدار را محاسبه نموده با ستون فراوانی تجمعی جدول مقایسه و اولین طبقه یا رده ای كه فراوانی تجمعی آن بزرگتر یا مساوی است را تعیین و آن را طبقه یا رده میانه می نامیم.
2- چنانچه از جدول فراوانی رده بندی شده استفاده می كنیم اندازه میانه همان رده میانه است و چنانچه از جدول فراوانی طبقه بندی استفاده می شود میانه تقریبی از رابطه زیر بدست می آید.

كه در این رابطه
حد طبقه پایین طبقه میانه=
فراوانی تجمعی طبقه قبل از طبقه میانه=
فراوانی طبقه میانه=
طول طبقه =
فرمول فوق با فرض یكنواختی در داخل هر طبقه و بر اساس یك تناسب ساده به دست می آید.
میانه نیز مركز هیستوگرام را تعیین می كند به طوریكه معمولاً نصف داده ها در طرف راست و نصف دیگر در طرف چپ آن قرار می گیرند.
مزیت میانه به عنوان یك اندازه مركزی بر میانگین در این است كه میانه تحت تأثیر داده های پرت قرار نمی گیرد، اما از طرف دیگر با توجه به اینکه میانه از اندازه همه داده ها به دست نمی آید معیار قابل قبولی برای بسیاری از بررسی های آماری نیست.

نما ترجمه كلمه مد است، كه یك لغت فرانسوی و به معنای ” متداول ترین” است. نما، برای مجموعه ای از داده‌ها عبارتست از اندازه ای كه بیشترین فراوانی را دارا می باشد. برخلاف میانگین و میانه كه برای مجموعه ای از داده‌ها وجود داشته و یكتا است، نما، لزوماً چنین خاصیتی را ندارد. اگر فراوانی داده ها یكسان باشد، توزیع آنها نما ندارد. به عبارت دیگر داده ها بدون نما هستند.
اگر دو اندازه از داده ها فراوانی یكسان و بیشترین فراوانی را داشته باشند توزع آنها دو نمائی است. به همین ترتیب ممكن است توزیع چند نمائی برای مجموعه ای از داده ها داشته باشیم. نما را با حرف M یا Mo نمایش می دهیم.
شکل منحنی های یک نمایی و دو نمایی

محاسبه نما برای داده های گسسته:
1- پیدا کردن فراوانی داده ها
2- داده ای که فراوانی آن بیشتر باشد را به عنوان نما انتخاب می کنیم.
توضیح: اگر دو داده دارای فراوانی مساوی باشند،بیشتر از سایر فراوانی ها، هر دو را به عنوان نما انتخاب می کنیم. مشروط بر اینکه این دو داده کنار هم نباشند. اگر کنار هم بودند، نصف مجموع آنها را نما می خوانیم.

مثال: برای داده های 3،1،3،1،3،1،3،2،4،5،3،3،1 نما برابر است با M=3 .
مثال: برای داده های 1،1،3،2،1،4،3،3،5 دو داده 1 و 3 که کنار هم نیستند و فراوانی مشترک آنها بیش از سایر فراوانی هاست، هر دو به عنوان نما اختیار می شوند.
مثال: برای داده های1،3،1،1،2،1،3،2،2،4،5،2 نصف دو داده 1 و 2 که کنار هم نیستند و دارای فراوانی 4 (بیش از سایر فراوانی ها) هستند به عنوان نما اختیار می شود. یعنیM=5/1

محاسبه نما برای داده های پیوسته:
1- خلاصه کردن داده ها در یک جدول فراوانی
2- نماینده رده ای را که دارای فراوانی بیشتر می باشد و رده نمایی نامیده می شود را به عنوان نما اختیار می کنیم.
برای دقت بیشتر می توان نما را از فرمول

بدست آورد. در این فرمول نما، مرز پایین رده نمایی، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله قبل از آن، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله بعد از آن و طول رده می باشد.

برای مجموعه ای از داده ها نمی توان به سادگی نتیجه گرفت كه كدامیك از اندازه های مركزی میانگین، میانه و نما بهترین معیار است. لذا در این قسمت به ویژگیها و موارد استفاده آنها اشاره می شود تا استفاده كننده با شناخت بهتری بتواند معیار مناسب را انتخاب نماید.
الف) میانگین حسابی
1- میانگین با استفاده از ارزش همه داده ها محاسبه می گردد.
2- مقدار میانگین نسبت به دو معیار دیگر در نمونه گیری های متفاوت از یك جمعیت كمتر تغییر می‌یابد .
3- از میانگین برای محاسبه معیارهای پراكندگی استفاده می شود.
4- میانگین را نمی توان برای یك جدول توزیع فراوانی كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نمی باشند محاسبه نمود.
5- میانگین برای مجموعه ای از داده ها یكتا است.
6- اندازه میانگین تحت تأثیر مقادیر بسیار بزرگ و یا مقادیر بسیار كوچك قرار می گیرد و به همین دلیل می تواند معیار مركزی نامناسبی باشد.
ب) میانه
1- میانه زمانی محاسبه می گردد كه نیاز به شناخت ارزش میانی داده ها باشد.
2- برای تشخیص اینكه اندازه ای از داده ها در نیمه بالا و یا نیمه پایین توزیع قرار می گیرد، محاسبه میانه لازم است.
3- میانه معیار مركزی مناسبی برای داده های جدول توزیع فراوانی است كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نیست.
4- میانه كمتر تحت تأثیر مقادیر بسیار كوچك و بسیار بزرگ قرار می گیرد.
ج) نما
1- برای تعیین متداول ترین اندازه داده ها از معیار نما استفاده می شود.
2- محاسبه معیار مركزی نما از سایر معیارها ساده تر است
3- نما را می توان به عنوان یك معیار مركزی برای داده های كیفی نیز به كار برد
4- ممكن است برای مجموعه ای از داده ها نما وجود نداشته باشد و یا بیش از یك نما موجود باشد.

رابطه بین معیارهای مركزی میانگین، میانه و نما برای توزیع های متقارن و چوله به شرح زیر می باشد.
1- برای مجموعه ای از داده ها با هیستوگرام متقارن و یك نمائی، مقادیر میانگین، میانه و نما یكسان بوده و در مركز توزیع قرار دارند.

در برخی از داده ها برای محاسبه میانگین حسابی، به دلیل اینكه مقادیر مشاهده شده ارزش های متفاوت دارند لازم است به هر مشاهده وزنی را اختصاص داده و سپس میانگین داده های وزن داده شده را محاسبه نمود.
میانگین وزنی از فرمول زیر محاسبه می شود

همانگونه كه پیش از این ذكر شد اندازه میانگین تحت تأثیر مقادیر بسیار بزرگ و یا مقادیر بسیار كوچك قرار می گیرد و به همین دلیل می تواند معیار مركزی نامناسبی باشد در چنین شرایطی شاید مناسب باشد از معیار میانگین پیراسته كه از از تاثیر مقادیر فرین مصون می‌باشد استفاده نماییم.

یك میانگین پیراستة كه با نمایش داده میشود به میانگین حسابی گفته میشود كه پس از كنار گذاردن نسبتاز مشاهدات دو انتهای مجموعة دادة مرتب شده محاسبه شود. برای محاسبه میانگینپیراسته با استفاده از داده های خام به ترتیب زیر عمل می كنیم.
1- داده ها را به ترتیب صعودی یا نزولی مرتب می كنیم
2- به داده های مرتب شده رتبه اختصاص می دهیم به طوریكه به اولین عدد رتبه 1 ، و به آخرین عدد رتبه n یا تعلق می گیرد. جایگشتی مرتب شده از ‌مقادیرداده های اصلی هستند.
3- مقدار صحیح عبارت را محاسبه می‌كنیم و می‌نامیم
4- میانگین حسابی مشاهدات را محاسبه‌ می‌كنیم

میانگین هارمونیك به صورت عكس میانگین معكوس اندازه ها تعریف شده است. در صورتی که همگی غیرصفر باشند، میانگین هارمونیك از رابطه زیر به دست می آید.

كاربرد این میانگین در موارد خاص می باشد. مثلاً برای محاسبه متوسط سرعت اتومبیل وقتی كه اتومبیل فاصله بین دو شهر را با سرعت های متفاوت طی می كند، سرعت متوسط را نمی توان از میانگین حسابی به دست آورد. فرض كنید راننده ای مسافت 100 كیلومتر را با سرعت 80 كیلومتر در ساعت طی می كند و در برگشت همان مسافت را با سرعت 90 كیلومتر در ساعت، در این صورت سرعت متوسط رانند 85 كیلومتر در ساعت نیست زیرا


كه با استفاده از میانگین هارمونیك نیز نتیجه فوق حاصل می شود.


به طور كلی میانگین هارمونیك زمانی استفاده می شود ه مشاهدات به صورت معكوس برای میانگین مورد نظر بیان شده اند. مثلاً اگر متوسط قیمت یك كالا خواسته شود و اطلاعات به صورت تعداد كالاها برای یك قیمت معین داده شده باشد، از میانگین هارمونیك استفاده می شود. این میانگین در عینک سنجی و مطالعه شبکه های برق به کار می رود.

میانگین هندسی معیار مركزی مناسب برای داده هایی از نوع درصد، نسبت، نرخ، شاخص ها و غیره است. برای محاسبه میانگین هندسی، در صورتی که همگی مثبت باشند، از رابطه

استفاده می شود.
برای محاسبه این میانگین آسانتر است که قبلا لگاریتم آن راحساب کرد. لگاریتم این میانگین برابر است با میانگین حسابی

این میانگین به صورت

تعریف می شود و در حقیقت برابر است با جذر میانگین حسابی .
می توان ثابت کرد که میان چهار نوع میانگین حسابی، هندسی، توافقی و رتبه دو، رابطه زیر برقرار است: